Risk management 2 : gestion des risques avancée

Deux risques peuvent être faiblement corrélés en temps normal et chuter ensemble en période de crise. Le coefficient de corrélation linéaire ne voit pas cette différence. Les copules, elles, permettent de la modéliser, à condition de bien choisir laquelle.

1959 : séparer les marges de la dépendance

En 1959, le mathématicien Abe Sklar publie dans les Publications de l’Institut de statistique de l’Université de Paris un théorème qui porte son nom : toute loi jointe se décompose en ses lois marginales et une copule, qui décrit seule la dépendance. On peut donc modéliser chaque risque séparément, puis choisir la façon de les assembler. En 1999, Paul Embrechts, Alexander McNeil et Daniel Straumann dressent l’inventaire des pièges de la corrélation en gestion des risques : la copule gaussienne a une dépendance de queue nulle, ce qui signifie que des événements extrêmes simultanés y deviennent asymptotiquement indépendants, contrairement à la copule de Student.

2000 : la copule gaussienne entre dans le crédit

David X. Li, alors chez RiskMetrics, publie en 2000 dans le Journal of Fixed Income un article qui applique la copule gaussienne aux dates de défaut de plusieurs emprunteurs. Toute la dépendance y tient en un paramètre de corrélation, calibrable sur les prix de marché. Le marché étend la méthode à la valorisation des tranches de CDO, qui devient un standard. Le modèle à un facteur à l’origine de la formule des fonds propres bâlois, présenté dans Risk management 1, appartient à la même famille.

Les premières alertes viennent tôt : le 5 mai 2005, Standard & Poor’s dégrade la dette de General Motors et de Ford en catégorie spéculative, et les positions qui pariaient sur la stabilité de la corrélation entre tranches subissent de lourdes pertes. En 2008, les défauts arrivent ensemble, bien plus souvent que ne le prévoyait une corrélation calibrée en période calme. Le 23 février 2009, le magazine Wired titre sur « la formule qui a tué Wall Street ». Le reproche vise moins la formule que l’usage d’un paramètre unique pour résumer des dépendances qui changent de nature en crise.

Les valeurs extrêmes, l’autre moitié du problème

La dépendance n’est qu’une partie de la question ; la taille des pertes extrêmes en est une autre. La théorie des valeurs extrêmes en fournit le cadre : lois limites des maxima (Fisher et Tippett en 1928, Gnedenko en 1943), puis loi de Pareto généralisée pour les dépassements de seuil (Balkema et de Haan en 1974, Pickands en 1975). La réglementation a pris le même tournant : la révision du risque de marché publiée par le Comité de Bâle en janvier 2016 (FRTB) remplace la VaR à 99 % par l’Expected Shortfall à 97,5 %, qui mesure la perte moyenne au-delà du quantile plutôt que le seul quantile.