Mathématiques financières pour les options exotiques : modèles, risques, méthodes de pricing et de couverture
Objectifs pédagogiques
- Appréhender les risques liés aux principales classes d’options exotiques.
- S’initier aux modèles d’évaluation et maîtriser leurs limites.
- Comprendre intuitivement les méthodes numériques de pricing et leur mise en œuvre (notamment Monte Carlo).
Programme détaillé
Cette formation s’adresse plutôt à des personnes évoluant dans le monde des produits structurés complexes et qui souhaitent en savoir plus sur la façon de les évaluer et de gérer leurs risques. La complexité des options exotiques, des modèles et des méthodes numériques utilisés pour les évaluer est indéniable. Néanmoins, cette formation a surtout un but de vulgarisation. L’accent est mis sur la compréhension intuitive des concepts et des techniques plus que sur leur formalisation, et avant tout sur la mise en pratique via de nombreux TP réalisés sur Excel.
Introduction 1h
- Rappels sur les options vanilles
- Où situer la limite entre vanille et exotique ?
- Grandes classes d’options exotiques
- Popularité des produits, marché par marché (taux / change / action)
Le choix du modèle : une étape cruciale 3h
- Un choix guidé par les spécificités du produit
- Les 3 grands risques exotiques
- Retour sur le modèle de Black & Scholes
- Au-delà de B&S : modèles à volatilité locale, à volatilité stochastique
Méthodes analytiques et numériques de pricing 5h
- Quels produits exotiques peuvent s’évaluer par formule fermée ?
- Approches semi-analytiques
- Méthodes backward : arbres et différences finies
- Pricing par simulation aléatoire : la méthode de Monte Carlo
- Avantages / inconvénients des différentes approches : un choix guidé par le modèle et le produit
Quelques grands classiques passés à la loupe 5h
- Options américaines : financièrement simples, quantitativement plus complexes…
- Options binaires : évaluation par call-spread et impact du skew
- Options barrières : call/put, up/down, in/out, faites votre choix !
- Options asiatiques : s’en sortir par le haut avec Monte Carlo et une variable de contrôle
- Options forward start : attention à la volatilité forward !
- Options sur spread : gare à la corrélation !
- Instruments quantos : le change entre en jeu…
Public visé
Profils scientifiques évoluant dans le domaine des produits structurés et souhaitant en savoir plus sur la façon de les évaluer et de gérer leurs risques : consultants IT quant, structureurs, asset managers utilsant les produits structurés, risk managers…
Prérequis
Bonne connaissance des options vanilles (maîtrise du contenu de la formation Mathématiques financières pour les options vanilles), notions de probabilités, voire de calcul stochastique, bonne maîtrise d’Excel.
Approche pédagogique
Options exotiques : pourquoi le choix du modèle fait le prix
Une option vanille cotée sur un marché liquide n’a, en un sens, pas besoin de modèle : son prix est observé, et le modèle de Black & Scholes sert surtout de convention pour l’exprimer sous forme de volatilité implicite. Une option exotique, elle, ne cote généralement pas. Son prix doit être calculé, et c’est là que le choix du modèle devient décisif.
Un même smile, des prix différents
Le marché des options vanilles fournit une surface de volatilité implicite : le smile, ou skew. Plusieurs familles de modèles savent la reproduire :
- la volatilité locale, introduite en 1994 par Bruno Dupire d’une part, Emanuel Derman et Iraj Kani d’autre part, fait dépendre la volatilité du niveau du sous-jacent et du temps ;
- la volatilité stochastique, dont le modèle de Steven Heston (1993) est l’exemple le plus connu, la fait évoluer selon sa propre dynamique aléatoire.
Calibrés sur les mêmes options vanilles, ces modèles s’accordent sur leur prix… mais pas nécessairement sur celui d’une option barrière ou d’une option à départ différé (forward start). Ces produits dépendent en effet de la façon dont le smile se déforme au cours du temps, une information que les prix vanilles du jour ne contiennent pas.
Le modèle, un risque à part entière
D’où une notion familière des équipes de produits structurés : le risque de modèle. Deux prix « justes » peuvent coexister, et l’écart entre eux mesure ce que le marché ne permet pas de trancher. Choisir un modèle revient donc à identifier les risques auxquels le produit est réellement sensible (volatilité forward, corrélation, change pour un produit quanto) et à vérifier que le modèle les représente correctement.
Puis vient la méthode numérique
Une fois le modèle choisi, reste à calculer : formule fermée quand elle existe, arbres ou différences finies pour les options à exercice anticipé, simulation de Monte Carlo pour les produits qui dépendent de la trajectoire du sous-jacent. Ce second choix est guidé à la fois par le modèle et par le produit, ce qui en fait une question d’ingénierie autant que de mathématiques.
