Mathématiques financières pour les options vanilles : pricing & risk management
Objectifs pédagogiques
- Se familiariser avec les options (calls et puts européens), leurs utilisations et leurs propriétés essentielles.
- Maîtriser les facteurs déterminant le prix d’une option. Comprendre le modèle de Black & Scholes et savoir l’utiliser pour pricer les options vanilles.
- S’initier aux sensibilités (grecques) et au risk-management des options.
Programme détaillé
Cette formation vise une compréhension approfondie des options européennes (calls & puts) tant du point de vue de leur utilisation que de leur évaluation et de leur risk-management. Le but est de s’approprier les principaux concepts liés aux options et d’acquérir toute une série de réflexes du type : quel est approximativement le prix de ce call à la monnaie ? Comment va-t-il évoluer si le cours de l’actif sous-jacent augmente ? Quid de son delta ? Quel est l’impact d’une hausse de la volatilité de l’actif sur le prix de ce call ? On acquiert donc à l’issue de ces deux jours une compréhension très intuitive des options facilitée par de nombreux TP réalisés sur Excel.
Introduction aux options vanilles 3h
- Principe d’une option européenne, caractéristiques des calls et des puts
- Stratégies d’exercice et comparaison avec un contrat forward
- Exemples d’utilisations des options (couverture, effet de levier…)
- Options à la monnaie, dans et en dehors de la monnaie
Hypothèses d’évaluation et premières propriétés 2h
- L’absence d’opportunité d’arbitrage
- Inégalités vérifiées par les prix des calls et puts
- Parité Call-Put et inégalité de convexité
- Facteurs déterminant le prix
- Introduction aux sensibilités : Delta, Gamma, Véga, Thêta et Rho
Évaluation d’un call dans le modèle binomial 1h
- Présentation du modèle binomial (1 période et 2 états du monde)
- Le prix d’une option comme valeur du portefeuille de couverture
- Concept de probabilité risque-neutre
Le modèle de Black & Scholes 5h
- Présentation intuitive du modèle
- La formule de Black & Scholes
- Valeur intrinsèque et valeur temps
- Volatilité historique vs. volatilité implicite
- Introduction à la problématique du smile / skew de volatilité
La couverture des options 3h
- Effets du cours sous-jacent et de la maturité sur le prix, le delta et le gamma d’une option
- Principe de la couverture delta-neutre d’une option
- Le P&L du trader : gamma vs thêta
Public visé
Toute personne évoluant dans le domaine financier souhaitant comprendre le fonctionnement des options et acquérir une maîtrise quantitative de ces produits : consultants IT dans le domaine financier, asset managers, opérateurs middle-office et risques…
Prérequis
Culture financière minimum, notions de probabilités, maîtrise de base d’Excel. La formation Mathématiques financières pour les produits de taux n’est pas un pré-requis indispensable.
Approche pédagogique
Calculés à partir de 5 avis recueillis depuis 20/06/2025, lors de 2 sessions de cette formation.
Black & Scholes : d'où vient la formule, et pourquoi le smile la contredit
Les options sont bien plus anciennes que leur formule. Aristote raconte déjà comment Thalès de Milet, ayant versé des arrhes pour retenir tous les pressoirs à olives avant la récolte, les sous-loua au prix fort : il avait payé un droit, pas un bien. Ce qui manquait jusqu’aux années 1970, c’était un prix qui ne dépende pas de l’opinion de chacun sur l’avenir.
1900 : Bachelier, trop tôt
Le 29 mars 1900, Louis Bachelier soutient à la Sorbonne une thèse intitulée Théorie de la spéculation, rapportée par Henri Poincaré. Il y décrit les cours de la Bourse de Paris comme une marche aléatoire, l’ancêtre du mouvement brownien, et en tire des prix d’options. Le travail reste longtemps ignoré des économistes, avant d’être redécouvert dans les années 1950.
1973 : une bourse et une formule
Le 26 avril 1973, le Chicago Board Options Exchange ouvre ses portes avec des calls sur 16 actions ; les puts n’y seront cotés qu’en juin 1977. La même année paraît dans le Journal of Political Economy (mai-juin 1973) l’article de Fischer Black et Myron Scholes, après un premier refus de cette même revue ; Robert Merton en publie la justification complète au printemps. L’idée centrale : une option peut être répliquée par un portefeuille d’actions et de cash ajusté en permanence. Son prix est le coût de cette couverture, et ne dépend donc pas du rendement que chacun anticipe pour l’action.
Le modèle binomial de Cox, Ross et Rubinstein (1979) montre le même raisonnement en temps discret, à une période et deux états du monde, et y fait apparaître la probabilité risque-neutre. Le 14 octobre 1997, Merton et Scholes reçoivent le prix Nobel d’économie ; Fischer Black, mort en 1995, est cité par le comité.
1987 : la volatilité cesse d’être unique
Le modèle suppose une volatilité constante. En inversant la formule sur les prix de marché, on obtient une volatilité implicite par option : si le modèle était exact, elle serait la même pour tous les prix d’exercice. Après le krach du 19 octobre 1987 (−22,6 % pour le Dow Jones en une séance), les options sur indice affichent durablement une volatilité implicite plus élevée pour les strikes bas, le skew, documenté notamment par Mark Rubinstein en 1994.
La formule n’a pas disparu pour autant : elle est devenue une convention de cotation. Les opérateurs s’échangent des volatilités plutôt que des prix, et l’indice VIX, lancé en 1993 et refondu le 22 septembre 2003 sur les options du S&P 500, publie une volatilité implicite comme on publie un cours. Les modèles conçus pour reproduire le smile sont le sujet de Mathématiques financières pour les options exotiques.
