Mathématiques financières pour les options exotiques : modèles, risques, méthodes de pricing et de couverture

 
  4 demi-journées       1900       Expert    

  Prochaines sessions et informations pratiques

Objectifs de la formation
  • Appréhender les risques liés aux principales classes d’options exotiques.
  • S’initier aux modèles d’évaluation et maîtriser leurs limites.
  • Comprendre intuitivement les méthodes numériques de pricing et leur mise en œuvre (notamment Monte Carlo).

Prérequis

Bonne connaissance des options vanilles (maîtrise du contenu de la formation Mathématiques financières 2), notions de probabilités, voire de calcul stochastique, bonne maîtrise d’Excel.


Public visé

Profils scientifiques évoluant dans le domaine des produits structurés et souhaitant en savoir plus sur la façon de les évaluer et de gérer leurs risques : consultants IT quant, structureurs, asset managers utilsant les produits structurés, risk managers…


Programme détaillé

Cette formation s’adresse plutôt à des personnes évoluant dans le monde des produits structurés complexes et qui souhaitent en savoir plus sur la façon de les évaluer et de gérer leurs risques. La complexité des options exotiques, des modèles et des méthodes numériques utilisés pour les évaluer est indéniable. Néanmoins, cette formation a surtout un but de vulgarisation. L’accent est mis sur la compréhension intuitive des concepts et des techniques plus que sur leur formalisation, et avant tout sur la mise en pratique via de nombreux TP réalisés sur Excel.

Introduction

  • Rappels sur les options vanilles
  • Où situer la limite entre vanille et exotique ?
  • Grandes classes d’options exotiques
  • Popularité des produits, marché par marché (taux / change / action)

Le choix du modèle : une étape cruciale

  • Un choix guidé par les spécificités du produit
  • Les 3 grands risques exotiques
  • Retour sur le modèle de Black & Scholes
  • Au-delà de B&S : modèles à volatilité locale, à volatilité stochastique

Méthodes analytiques et numériques de pricing

  • Quels produits exotiques peuvent s’évaluer par formule fermée ?
  • Approches semi-analytiques
  • Méthodes backward : arbres et différences finies
  • Pricing par simulation aléatoire : la méthode de Monte Carlo
  • Avantages / inconvénients des différentes approches : un choix guidé par le modèle et le produit

Quelques grands classiques passés à la loupe

  • Options américaines : financièrement simples, quantitativement plus complexes…
  • Options binaires : évaluation par call-spread et impact du skew
  • Options barrières : call/put, up/down, in/out, faites votre choix !
  • Options asiatiques : s’en sortir par le haut avec Monte Carlo et une variable de contrôle
  • Options forward start : attention à la volatilité forward !
  • Options sur spread : gare à la corrélation !
  • Instruments quantos : le change entre en jeu…

Python et sa bibliothèque NumPy pour évaluer les options exotiques

 

Cette formation ne demande pas de connaissance préalable du langage Python. Néanmoins, plusieurs cas pratiques implémentés en Python au moyen de la bibliothèque NumPy seront présentés via de plusieurs Google Colabs commentés. Voici en quoi cette bibliothèque peut s’avérer très utile pour développer des méthodes numériques telles que Monte Carlo ou des différences finies, qui se révèlent assez gourmandes en puissance de calcul.

Notons cependant que si Python est un langage parfait pour une première implémentation des modèles et des méthodes numériques, il sera remplacé en production par des langages de plus bas niveau tels que le C++ pour des raisons de performance.

La bibliothèque NumPy est extrêmement utile pour implémenter efficacement la méthode de Monte Carlo ou des méthodes de différences finies dans le cadre du pricing des produits dérivés. Voici quelques raisons pour lesquelles NumPy est largement utilisé dans ces domaines :

Manipulation efficace des tableaux : NumPy offre des structures de données de tableau multidimensionnel efficaces, appelées ndarrays, qui permettent de stocker et de manipuler des données de manière optimisée. Cela facilite le traitement de grands ensembles de données et permet d’effectuer des opérations mathématiques vectorisées, ce qui améliore considérablement les performances.

Calculs numériques rapides : NumPy est écrit en langage de programmation C et utilise des bibliothèques d’algèbre linéaire optimisées telles que BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) et LAPACK (Linear Algebra Package) en arrière-plan. Cela permet d’exécuter des calculs numériques rapides et efficaces, ce qui est essentiel lors de la simulation de nombreux scénarios dans les méthodes de Monte Carlo ou de différences finies.

Génération de nombres aléatoires : Les méthodes de Monte Carlo reposent sur la génération de nombres aléatoires pour simuler des scénarios aléatoires. NumPy fournit une fonctionnalité pour générer des nombres aléatoires de manière efficace et contrôlée. La fonction numpy.random permet de générer des nombres aléatoires selon différentes distributions, ce qui est essentiel pour les simulations Monte Carlo.

Opérations mathématiques avancées : NumPy offre un large éventail de fonctions mathématiques avancées, telles que les fonctions trigonométriques, exponentielles, logarithmiques, etc. Ces fonctions sont essentielles lors de la modélisation mathématique et de la résolution d’équations différentielles dans les méthodes de différences finies.